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Dissertation Stefan Ulbrich

Institut für Angewandte Mathematik und Statistik

Technische Universität München




Stabile Randbedingungen und implizite

entropiedissipative numerische Verfahren

für Anfangs-Randwert-Probleme

mehrdimensionaler nichtlinearer Systeme

von Erhaltungsgleichungen mit Entropie



Stefan Ulbrich



Dissertation



Juni 1996



Zusammenfassung:

Die Symmetrisierbarkeit hyperbolischer Systeme in Erhaltungsform durch Übergang auf neue Zustandsgrößen, die Entropievariablen, erweist sich im Fall klassischer Lösbarkeit als äquivalent zur Existenz einer zusätzlichen Erhaltungsgleichung für eine streng konvexe Entropie. Das bekannte Phänomen der Schockformation macht - auf Kosten der Eindeutigkeit - einen schwachen Lösungsbegriff für hyperbolische Systeme notwendig. Physikalisch relevante schwache Lösungen müssen das Entropieerhaltungsgesetz als Ungleichung erfüllen, woraus in der vorliegenden Arbeit wichtige Stabilitätsaussagen hergeleitet werden. Unter Verwendung von Entropievariablen wird eine Erweiterung der von Friedrichs begründeten Theorie maximaler Randbedingungen für lineare symmetrisch hyperbolische Systeme auf nichtlineare Systeme mit Entropie vorgenommen. Die Analyse der Randbedingungen kommt ohne die sonst übliche Linearisierung aus und liefert minimal spezifizierte, in den Entropievariablen lineare Randbedingungen, die auch ein Stabilitätsresultat für schwache, zu gestörten Anfangs- und Randwerten einer klassischen Lösung gehörende Entropielösungen mit beschränkter Variation zulassen. Für die ein- und zweidimensionale Flachwassergleichung werden entsprechende, auch für große Störungen stabile Randbedingungen hergeleitet. Im zweiten Teil der Arbeit wird die Stabilitätstheorie auf implizite entropiedissipative numerische Verfahren übertragen. Eine Kombination aus je nach Randtyp starker oder schwacher Randbedingungsformulierung wird zur Erweiterung der Konvergenztheorie von Stromliniendiffusions-Finite-Elemente-Verfahren (SD-Verfahren) auf Anfangs-Randwert-Probleme genutzt. Neben der Konvergenz mit Ordnung O(h^(k+1/2)) gegen eine genügend glatte Lösung bei Verwendung von Finite-Elemente-Räumen, die stückweise Polynome k-ten Grades enthalten, wird gezeigt, daß jede zu h->0 gehörende beschränkte, fast überall konvergente Lösungsfolge gegen eine schwache Entropielösung konvergiert. Da die exakte Berechnung der auszuwertenden Volumenintegrale häufig zu aufwendig ist, eine näherungsweise Integration jedoch Erhaltungseigenschaften und Entropiedissipativität zerstören kann, wird schließlich eine Klasse von Stromliniendiffusionsmethoden "auf Linien" hergeleitet, die auf zweite Ordnung konsistent und eng verwandt mit Differenzenverfahren in Erhaltungsform sind. Ein sich durch exakte Integration entlang von Linien ergebendes Referenzverfahren mit minimaler Dissipation erlaubt die Klassifizierung und systematische Konstruktion von dissipativen Verfahren, die selbst bei Weglassen des SD-Terms stabil sind. Durch Übergang zu einem diskreten Integrationskalkül kann die Theorie der gewöhnlichen SD-Verfahren übertragen werden. Es wird gezeigt, daß die SD-Methode auf Linien unter oben genannten Bedingungen im Limes schwache Entropielösungen liefert. Die Einbettung der Randbedingungen ist in einer diskreten Variante wie beim SD-Verfahren möglich und kann ebenso auch bei anderen impliziten Differenzenverfahren in Erhaltungsform erfolgen. Numerische Berechnungen von schwachen Lösungen der Flachwassergleichung, insbesondere die Berechnung des Ablaufs einer Hochwasserwelle im natürlichen Gerinne der Salzach, schließen die Arbeit ab.


Stefan Ulbrich , 1996-07-13